Dois exemplos típicos,
e matematicamente próximos, de problemas
inversos são:
1. Determinação
de dados de reservas petrolíferas, ou mais geralmente
de dados geológicos,
com base em medidas superficiais de dados de reflexão
ou de espalhamento de ondas.
2. Determinação
de características de tecidos no interior de seres vivos
com base em medidas não
invasivas.
No primeiro caso acima, a
área de aplicação típica é parte dos
estudos de
prospecção
sísmica e está associada a termos como: sismologia por reflexão,
migração sísmica,
imageamento sísmico, e tomografia geofísica.
No segundo caso, o campo
de aplicação principal é o da medicina, incluindo
tanto a preventiva,
a operatória, quanto a pós-operatória.
Ela engloba problemas de
ressonância eletromagnética (NMR), tomografia por
raios X, tomografia com
infra-vermelho, dentre outros.
Apesar da vasta gama de aplicações,
muitas das ferramentas matemáticas
nestas áreas são
idênticas. Isto se deve a que os problemas muitas vezes
são modelados por
fenômenos físicos semelhantes associados a propagação
e difusão de ondas
em meios heterogêneos. De fato, os desenvolvimento
científicos nos diversos
campos descritos acima vem se dando com influencias
mútuas.
Além disso, usuários,
bem como especialistas em uma das áreas acima não
pode trabalhar na mesma
ignorando a terminologia ou os avanços feitos na
outra.
Neste curso abordaremos os
principais métodos matemáticos no estudo de
problemas inversos.
1.Introdução:
Modelos de propagação de sinais e de ondas em meios
heterogêneos. Problemas
diretos relacionados a equações elípticas,
hiperbólicas e parabólicas.
Análise assimptótica de altas freqüências.
2.Problemas inversos em geofísica.
Sismologia por reflexão. Aquisição
e tratamento de dados. Deconvolução.
Problemas mal postos X bem postos.
3.Métodos computacionais
em problemas inversos: teorema da decomposição
em valores singulares. sistemas
esparsos. minimização de funcionais,
método de Newton
e suas variantes. Método de Levenberg-Marquadt.
Pacotes computacionais como
LINPACK, MATLAB, MAPLE, SEISMIC UNIX, etc.
(pretendemos analisar também
algumas das limitações destes pacotes, e
não somente a manipulação
dos mesmos)
4.Técnicas de tratamento de sinais. FFT, filtragem, Wavelets.
5.Transformada de Radon,
e suas generalizações para meios heterogêneos.
BIBLIOGRAFIA PRINCIPAL:
A. Kirsch, An introduction
to the mathematical theory of inverse problems,
Springer, New York, 1996
D. Colton & R. Kress,
Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory,
Second edition, Springer,
Berlin, 1998
J. Baumeister, Stable solution of inverse problems, Vieweg, Braunschweig, 1987
J.P. Zubelli, An Introduction
to Inverse Problems; Examples, Methods, and
Questions. Minicurso
XXII Col. Bras. de Matemática. 1999.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
Fundamentals of Geophysical Data Processing - J. Claerbout (Stanford
University)
3-D Seismic Imaging - Biondo Bondi (Stanford University)
Mathematics of Reflection Seismology - W. W. Symes (Rice University)
Mathematics of Multidimensional
Seismic Inversion - Bleistein,
Cohen,
Stockwell. (Center for Wave
Phenomena, Colorado)
Inverse Problems in Geophysics - Snieder & Trampert
PRE-REQUISITOS: Análise
Funcional e Fundamentos de Análise Numérica
NÍVEL: Doutorado
AVALIAÇÃO:
Listas de Exercícios Regulares e Apresentação/Projeto
de fim de
curso.