Introdução à Álgebra Linear 2009
Professor
Monitores
Alien Torres, Sala 413, Atendimento: sexta-feira 14:00 - 15:00
Carlos Bocker, Sala 403, Atendimento: segunda-feira 09:00 - 10:00
José Régis Varão, Sala 134, Atendimento: quarta-feira 18:00 - 19:00
Michel Cambrainha, Sala 327, Atendimento: quarta-feira 14:00 - 15:00
Mohammad Fanaee, Sala 417, Atendimento: sexta-feira 16:00 - 17:00
Samuel Feitosa, Sala 134, Atendimento: sexta-feira 17:00 - 18:00
Yuri Lima, Sala 134, Atendimento: quarta-feira 15:00 - 16:00
Bibliografia
Finite-Dimensional Vector Spaces : P. Halmos
Linear Algebra : K. Hoffman & R. Kunze
Linear Algebra and its Applications : P. Lax
Linear Algebra and its Applications : G. Strang
Provas
P2 : 5 de fevereiro, quinta-feira, 12:30 - 15:30
Prova /
Gabarito
P3 : 19 de fevereiro, quinta-feira, 12:30 - 15:30
Prova /
Gabarito
Listas de Exercícios
Sumários das Aulas
5 de janeiro: Linearidade. Espaços vetoriais sobre um
corpo. Espaços vetoriais reais e complexos. Exemplos.
Subespaços vetoriais. Soma de subespaços.
6 de janeiro: Subespaço gerado por um subconjunto.
Conjuntos geradores. Conjuntos linearmente dependentes e
conjuntos linearmente independentes. Método de
eliminação para sistemas lineares.
8 de janeiro: Bases. Dimensão. Coordenadas.
Método de substituição para sistemas
lineares. Completamento de bases. Bases de subespaços.
Soma direta de subespaços. Transformações
lineares.
12 de janeiro:
Núcleo, imagem e posto de uma
aplicação linear. Injetividade e sobrejetividade.
Dimensões: dim V = dim ker(f) + dim ima(f).
Funcionais lineares. Espaço dual e base dual.
13 de janeiro:
Matriz de uma aplicação linear. Matriz da
aplicação adjunta, matriz transposta.
Matriz da composição, produto de matrizes.
Projeções, operadores idempotentes.
15 de janeiro: Aplicações e funcionais
multi-lineares. Produto interno. Norma. Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Bases ortogonais e bases ortonormais. Algoritmo de Gram-Schmidt.
Identificação do espaço com o dual através
do produto interno.
19 de janeiro: Aplicação adjunta de uma
aplicação entre espaços com produto interno.
Matriz da aplicação adjunta, matriz transposta.
Propriedades da transposta. Complementar ortogonal de um
subespaço. Imagem e núcleo da transposta.
Aplicação auto-adjunta. Matriz simétrica.
26 de janeiro: Produto interno hermitiano. Propriedades.
Aplicação adjunta. Matriz transposta conjugada.
Aplicações hermitianas. Auto-valores e auto-vetores.
Propriedades. Auto-valores de aplicações hermitianas.
27 de janeiro:
Auto-valores e auto-vetores de aplicações auto-adjuntas
em espaços bi-dimensionais. Polinômios.
Teorema fundamental da álgebra. Existência de
auto-valores (caso complexo).
Teorema espectral para aplicações auto-adjuntas/hermitianas
em dimensão finita.
29 de janeiro: Prova do teorema espectral: caso complexo
(aplicações hermitianas) e caso real
(aplicações auto-adjuntas).
2 de fevereiro: Aplicações do teorema espectral.
Base de autovetores comum para aplicações hermitianas
que comutam. Aplicações hermitianas positivas, negativas
ou indefinidas. Raiz quadrada de uma aplicação
linear. Existência e unicidade de raiz quadrada na classe de
aplicações hermitianas não-negativas.
3 de fevereiro: Teorema dos valores singulares
(demonstração no caso invertível).
Parte real hermitiana e parte imaginária hermitiana de
uma aplicação linear. Aplicações
normais. Propriedades. Autovalores e auto-espaços de
aplicações normais. Teorema espectral para
aplicações normais (caso complexo).
9 de fevereiro:
Teorema espectral para aplicações normais (caso real).
Aplicações ortogonais e aplicações unitárias.
Auto-espaço generalizado. Aplicações nilpotentes.
10 de fevereiro: Decomposição L=D+N.
Forma normal para aplicações nilpotentes.
Forma canônica de Jordan: caso complexo e caso real (enunciado).
12 de fevereiro: Formas multi-lineares alternadas.
Determinantes. Propriedades. Polinômio característico.
Propriedades. Operadores triangularizáveis.
Caracterização de operadores triangularizáveis.