Análise na Reta (verão de 2014)
 
Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira.
 
Período de aulas: de 7 de janeiro a 27 de fevereiro de 2014.
Dias e horários das aulas: terças, quartas e quintas das 15:00 às 17:00.
Local: IMPA, Auditório Ricardo Mañé.
 
Monitoria: aulas ns quintas às 17:30 e atendimentos nas segundas (13 às 15h na sala 236) e terças (10 às 12h no Mañé).
 
Conteúdo e bibliografia:
 
Nosso objetivo é cobrir (quase) todo o material do livro "Análise Real, vol 1", de Elon Lages Lima, com o acréscimo de material adicional sobre espaços métricos.
 
O livro de Rudin na ementa também será muito usado.
 
Bons livros suplementares incluem o "Elon grande" (também na ementa) e Körner. Ocasionalmente usaremos notas de aula.
 
Avaliação:
 
Em princípio o grau final é determinado pelas notas nas provas, que acontecerão nos dias 30/01 e 27/02. Cada prova terá início às 15:00 e término às 18:00.
 
Além destas provas, teremos testes nos dias 23/01 e 13/02, das 15:00 às 17:00. Os testes só poderão aumentar os graus finais. Por exemplo, um aluno que ficaria com C+ pelas duas provas e que vai muito bem nos testes poderá ter grau final B- ou até B.
 
Importante: nas provas e nos testes, estão proibidas consultas a qualquer material ou colaborações de qualquer espécie. Os alunos que violarem estar regras poderão ser sumariamente reprovados.
 
Material coberto e notas de aula:
 
Exceto quando o contrário for dito, as mençoes a capítulos são todas ao "Análise Real". Atenção: notas de aula podem ter errinhos e não substituem livros!
 
7 a 9/1: cap 1 e início do cap 2. Ver notas sobre conjuntos, funções e cardinalidades.
14 a 16/1: caps 2 e 3. Ver lista de exercícios para as duas semanas. Ver também a lista acrescentada em 18/1.
21 a 23/1: caps 3 e 4. Primeiro teste (gabarito).
28 a 30/1: topologia, espaços métricos, continuidade, abertos, fechados. Primeira prova (gabarito). Rudin, cap 2 + notas de aula que serão atualizadas ao longo das próximas semanas.
4 a 6/2: conexidade e compacidade. . Rudin, cap 2 + notas de aula. Ver também lista de exercícios adicionada em 7/2.
7/2: aula especial com clínica de demonstrações. Problemas da aula.
11 a 13/2: critérios topológicos para compacidade. Heine Borel. Continuidade uniforme. Definição de derivada. Segundo teste (gabarito).
18 a 20/2: Derivadas. Regra da cadeia. Teoremas de Rolle (comum e generalizado - ver notas de T. Gowers) e Teorema do Valor Médio. Fórmulas de Taylor com restos de Peano e Lagrange. Integrais inferiores e superiores. Integrais de funçoes contínuas como limites de somas de Riemann. Teorema Fundamental do Cálculo. Ver lista sobre derivadas.
25 a 27/2: Ver notas de aula. Existencia e unicidade para equaçoes diferenciais ordinárias via métodos de espaços métricos. Exponencial e logaritmo. Seno e cosseno.