Medida e integração (agosto a novembro de 2012)

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Informações básicas
 
Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira [rimfo arroba impa ponto br]
 
Horários e local: 2as e 4as, das 13:30 às 15:00, na sala 236 (monitoria nas sextas; checar horário com Ensino).
 
Período letivo: de 06 de agosto a 30 de novembro de 2012.
 
Ementa: a ementa oficial está disponível no site do IMPA. Tentarei enfatizar no curso as conexões entre este conteúdo básico e alguns tópicos em Análise Funcional, Probabilidade e Teoria Ergódica. Por exemplo, o teorema de Radon-Nykodym será provado a partir do teorema da representação de Riesz para espaços de Hilbert; o teorema de Riesz-Markov (funcionais positivos sobre funções contínuas) será provado usando o teorema de Hahn-Banach; e (se o tempo permitir) construiremos o Movimento Browniano e veremos suas propriedades pouco intuitivas.
 
Bibliografia: A referência principal será o livro de Augusto Armando de Castro Junior. A principal referência secundária será um livro recente de Michael Taylor publicado pela AMS. Outros livros de que gosto: Bartle (bem condensado) e Rudin (com muito material), na ementa; e Real Analysis, de Folland.
 
Pré-requisitos: Análise em R^n, em particular a topologia do espaço euclideano e propriedades de seqüências de funções contínuas.
 
Avaliação e conceito final
 
Três provas em sala, marcadas preliminarmente pra os dias 12/09, 24/10 e 28/11 (80% da nota).
 
Seis listas para casa, cada uma com + ou - 4 ou 5 problemas, aproximadamente a cada 3 semanas.
 
Conteúdo das aulas

 
[1 a 8/08] Apresentação. Para que serve o curso. Preliminares sobre aneis, semi-aneis e sigma-álgebras (livro do AACJ, caps. 1 e 2).
 
[13 a 27/08] Medidas regulares. Teorema de extensão de medidas. Introdução à integração. (AACJ, cap 2 + notas).
 
[31/08] Aula extra: O que é uma função mensurável. Teorema de Convergência Monótona.
 
[03-05/09] Prova do TCM. Relação entre integral abstrata (notas) e a Teoria de Integração usual. Teorema de Riesz-Markov - esboço da prova no caso de R^n (AACJ Cap 10).
 
[10/09] Revisão para a primeira prova.
 
[12/09] Primeira prova.
 
[17/09] Curso relâmpago de espaços métricos (ver notas). Prova de que um conjunto é topologicamente compacto sse é sequencialmente compacto.
 
Listas valendo nota e provas

 
Lista 1 - entrega para 31/08.
 
Lista 2 - entrega para 12/09 (a direção correta na implicação da questão 13 é => e não <=).
 
Lista 3 - entrega para 08/10.
 
Notas de aula, exercícios e outros links
 
Versão abstrata do teorema de extensão de medidas. As alterações prometidas ficaram para as notas abaixo.
 
Integração e o teorema da convergência monótona.
 
Gabarito da primeira prova.
 
Notas sobre espaços métricos.