EXERCICIOS AQUI (mais serão acescentados à tarde)
Análise Complexa (verão de 2014)
 
Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira.
 
Período de aulas: de 8 de março a 3 de julho de 2015.
 
Monitor: Guilherme Henrique de Paula Reis
 
Aulas: terças e quintas das 13:30 às 15:00 (sala 236). Monitoria nas quintas às 15:30 (sala a definir).
 
Aulas canceladas: 17 e 19 de março. Reposiçao (quando houver) nas sextas às 17:00.
 
Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg Conteúdo e bibliografia:
 
Objetivo mínimo: cobrir os capítulos de 1 a 9 e parte do 10 do livro
 
"Complex made simple", de David Ullrich.

Este livro será seguido relativamente de perto, mas também usaremos notas de aula em alguns momentos
 
Possíveis tópicos adicionais: continuação analítica, teorema de Runge, tipo exponencial (Hadamard), teoremas de Picard. Um ou mais destes devem ser vistos no curso.
 
Livros disponíveis para consulta: livro de Ullrich (acima); Complex Analysis, de Ahlfors; e Theory of Functions, de Markushevich.
 
 

 
Avaliação:
 
Provas escritas, com três horas de duração cada uma, nos dias 16/04, 28/05 e 2/07, (horário a definir). Algumas das questóes das provas virão dos exercícios sugeridos, então fique atento!
 
Observação importante: o curso não terá listas de exercício valendo nota.
 
Importante: durante as provas, estão proibidas consultas a qualquer material ou colaborações de qualquer espécie. Os alunos que violarem estar regras poderão ser sumariamente reprovados.
 

 

 

 
Material coberto por semana
 
[10/03] Definições básicas. Diferenciabilidade e séries de potencia (capítulos 0 e 1 de Ullrich - faça todos os exercícios!). Ver notas de aula sobre séries (faça estes exercícios!).
 
[17/03] Exemplos de séries de potencia: exp, sen, cos. (Isto será no horário de monitoria - não teremos aula!)
 
[24/03] Curvas retificáveis e integrais de linha. Ver Ullrich, cap. 2 + notas de aula.
 
[31/03] O teorema de Cauchy Goursat + versão para f contínua e diferenciável exceto possivelmente em um ponto. Índices de curvas e a fórmula de Cauchy para discos e outros conjuntos convexos. Ver Ullrich, caps. 2, início do 3 e trecho do 4. Notas de aula sobre Cauchy Goursat + índice e a fórmula de Cauchy em domínios convexos.
 
[07/04] Aplicações da fórmula de Cauchy. Séries de potència. Estimativas de Cauchy. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental da Álgebra.
 
[14/04] Revisão e primeira prova. (Gabarito)
 
[21/04] Sem aula (feriados).
 
[28/04] Logaritmos. Índice de curvas a partir de argumentos. A fórmula de Cauchy no caso mais geral (Ullrich cap. 4).
 
[05/05] Invariancia da integral por homotopia. Séries de Laurent. Singularidades isoladas e sua classificação em removíveis, essenciais e pólos (Ullich cap. 3 e 4).
 
[12/05] Teorema dos resíduos e seu uso no cálculo de integrais reais. Princípio do argumento e teorema de Rouché. Pré-imagens numa vizinhança de um ponto de ordem n. Ver Ullrich cap. 4/5 e notas de aula. Alguns exercícios sobre as últimas semanas.
 
[19/05] Injetividade local e global para funções holomorfas. Teorema da aplicação aberta. Aplicações conformes. Esfera de Riemann e funçoes holomorfas definidas sobre ela. (Ullrich, caps. 5, 7 e início do 8)
 
[26/05] Mais sobre a esfera de Riemann: funçoes holomorfas não constantes sobre toda a esfera. Automorfismos. Segunda prova (gabarito).