Análise no R^n


Segunda prova no dia 29/6 às 9 da manhã
 
Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira.
Período letivo: março a junho de 2017.
Aulas com o professor: terças e quintas de 10:30 às 12:00 na sala 236.
Monitor: Luiz Paulo Freire
 

Avaliação
 
Calendário: MT= média dos testes. MP =média das provas.
Nota final = (2/3)*MP + (1/3)*MAX(MT,MP).
 
Grau A,B,C ou F baseado na nota final, com eventuais bonus.
 
Ementa
 
Nosso objetivo fundamental é cobrir os capítulos 2, 7 e 9 do livro Principles of Mathematical Analysis (Walter Rudin) e a parte de subvaridades do Curso de Análise 2 (Elon), ainda que num grau um pouco maior de abstração. Seguiremos um caminho relativamente heterodoxo guiado pelas notas de aula do curso, que serão constantemente atualizadas. Eis um roteiro aproximado; cada tópico corresponde aproximadamente a um mes de curso.
  1. Espaços métricos e vetoriais: R^n, espaços de funções. Sequências e continuidade. Conceitos topológicos: abertos, fechados, conexos e compactos. Teoremas de ponto fixo.
  2. Espaços de funções contínuas: sequencias, séries e critérios de convergência. Subconjuntos compactos (Ascoli Arzela) e densos (Stone Weierstrass). O problema de Cauchy para EDOs via os métodos de Euler e Picard.
  3. Cálculo diferencial em R^n. Definiçoes, exemplos importantes, um pouco de Álgebra Linear. Teorema da Função Implícita e seus primos.
  4. Subvariedades de R^n. Diferenciabilidade de soluções de EDO e aplicaçoes.

 
Programa e problemas importantes
 
Obs: esta parte ainda é a do curso de 2016. Ela será atualizada de acordo com o progresso do curso atual. 

(R= Rudin, E= Elon, N = notas de aula)
 
[7 e 9 de março] N: capítulos 2 (inteiro) e 3 (até seção sobre C((a,b),R)). Exercícios: N 2.13, 2.15, 3.7, 3.8, 3.9.
[14 e 16 de março] N: final do capítulo 3, capítulo 4 (menos seção 4.5) e início do cap. 5. Exercícios: N 3.10, 4.12 5.13 e o Exemplo 4.11.
[21 e 23 de março] N: restante do capítulo 5 e seções de 6.1 a 6.3. Exercícios: N 5.5, 5.9 e 5.17.
[28 e 30 de março] N: revisão do início e seções restantes do capítulo 6 (menos as seções 6.7.2 e 6.7.3 e o Teorema 6.4). Capítulo 7. Exercícios: N 6.14, 6.15 e 6.17, 7.4, 7.5, mais o Teorema 6.4.
[5 e 7 de abril] Revisão e primeiro teste.
[12 e 14 de abril] N: capítulo 8. Temos notas adicionais sobre Stone-Weierstrass. Exercícios: N 8.1, 8.4, 8.8.
[19 e 21 de abril] Stone-Weierstrass + N: seção 9.1. Exercícios 9.1, 9.2 e 9.3.
[26 e 28 de abril] Revisão e primeira prova.
[03 e 05 de maio] Arzèla Ascoli e a solução de EDOs (existencia). N 9.1, 9.3 e 9.4
[07 e 09 de maio] Teorema do Ponto Fixo de Banach. Método de Picard para existencia e unicidade. N 10.2, 10.3, 10.4, 10.5.
[14, 16 e 18 de maio] Álgebra Linear básica. Independencia linear, subespaaços, dimensão, transformações lineares. Equivalencia de normas. R 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5.
[20, 25 e 27 de maio] Derivada como transformação linear. Propriedades e exemplos. Derivadas parciais e gradientes. R 9.7, 9.10, 9.13, 9.15.
[31 de maio] Regra da cadeia. Derivadas versus derivadas parciais. Ver notas sobre derivadada inversa. R 9.11 + exercícios recomendados destas notas.
[1 e 3 junho] Teoremas da função inversa e implícita. Ver notas de aula. R 9.16, 9.17.
[7 e 9 junho] Mais Função Implícita. Segundo teste.
[A partir de 14 de junho] Mais teoremas locais. Derivadas de ordem superior. Imersões e submersões. Introdução às subvariedades de R^d. Ver notas sobre o teorema da função implícita.
Exercícios para a última prova: R 9.16, 9.17, 9.18, 9.20, 9.21, 9.23, 9.25, 9.27, 9.29, 9.30.