Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies

Última Atualização: 17/01/2021. (Esta página sofrerá modificações regularmente - mantenham-se atentos!)

Últimas notícias (17/01/2021): Período de inscrições encerrado em 12/01/2021. Período de cancelamento: até 27/01/2021.
Últimas notícias (06/01/2021): Alunos de curso livre não serão avaliados como alunos regulares. Isto é, alunos de curso livre serão atribuídos os graus P = participou ou F = não participou/falhou.

Lembrete: Estamos vivendo uma pandemia. Não vou fingir que estamos vivendo tempos normais. Da mesma maneira que os estudantes poderão contar com minha compreensão, espero contar com a compreensão de todos!

Em circunstâncias normais, um curso de Verão do IMPA é intenso e requer dedicação constante. Não será diferente na modalidade remota. Assim, para o máximo aproveitamento, será muito importante os alunos não apenas participarem dos momentos de discussão remota ao vivo ativamente, como também se prepararem para eles assistindo aos vídeos das aulas gravadas, lendo a bibliografia sugerida, e, principalmente, fazendo exercícios.

Modelo de aulas remotas: Aulas gravadas + aulas-discussões remotas ao vivo.

A fim de evitar frustrações com os problemas inevitáveis, previsíveis ou não, de uma transmissão ao vivo feita em casa, as aulas serão gravadas e disponibilizadas com antecedência. Haverá um momento durante a semana (ou mais de um) em que nos encontraremos em uma sala do Google Meets para uma discussão remota ao vivo sobre exemplos, dúvidas e exercícios. Dúvidas enviadas por email serão muito bem-vindas, e serão discutidas sem falta durante nossos encontros semanais.

Os links de acesso às aulas gravadas e remotas foram enviados por email aos alunos inscritos. Peço que não o compartilhem - se lhes pedirem o link, instrua a pessoa a entrar em contato comigo. Caso não algum de vocês não o recebam ou tenham dificuldade de acesso, entrem em contato comigo por email.

Público-alvo: o curso é de nível de Mestrado. Dito isso, observo que se trata da primeira vez em que o curso será oferecido durante o período de Verão, e que se trata de um ano excepcional. A modalidade remota favorece a participação de um número muito maior de alunos, em mais variados estágios do conhecimento. Portanto, haverá um grau de experimentação e adaptação ao público que acompanhar o curso! Almejo uma abordagem que seja suficientemente variada e interessante para alunos mais experientes, e suficientemente auto-contida para que alunos dedicados com menos experiência possam acompanhar.

Descrição do curso: Ver ementa completa aqui. O curso será dividido em duas partes, mais ou menos bem delimitadas.

A primeira parte corresponde ao que se chamaria um curso tradicional de Geometria Diferencial das Curvas e Superfícies. Aqui, o protagonista é o conceito de curvatura. Desenvolveremos a intuição sobre este conceito discutindo em primeiro lugar curvas no plano e no espaço Euclidianos. Então, introduziremos o conceito rigoroso de superfície regular no espaço Euclidiano, enfatizando como estes objetos são apropriados como espaços onde se pode fazer cálculo diferencial. A seguir, começaremos a discutir a geometria destes objetos. Seguindo a intuição de que a curvatura de uma superfície deveria medir o quanto ela difere de um plano, introduziremos em particular as noções de curvatura de Gauss e média. Os significados geométricos dessas noções serão discutidos em detalhes, e em particular classificaremos as superfícies regulares compactas com curvatura constante. Enfim, focaremos na notável descoberta de Gauss: a curvatura de Gauss é uma noção intrínseca, isto é, algo que pode ser calculado por medições em que o ambiente Euclidiano pode ser ignorado. Para culminar a discussão sobre a curvatura Gaussiana, demonstraremos o belíssimo Teorema de Gauss-Bonnet e discutiremos suas consequências.

Na segunda parte, quero discutir temas que apontam para tópicos de pesquisa atual. Dependendo do andamento do curso, poderemos cobrir alguns assuntos como teoremas globais para curvas fechadas, superfícies mínimas e/ou de Willmore, ou fluxos geométricos. Por exemplo, penso em usar superfícies mínimas com bordo livre para introduzir algumas ideias básicas interessantes sobre a geometria das superfícies mínimas, e/ou discutir como o Fluxo de Ricci uniformiza a geometria inicial de uma superfície compacta qualquer. São ideias: dependendo do caminhar da primeira parte do curso, esta segunda parte vai se cristalizar em torno de alguns destes ou outros tópicos.

A primeira parte do curso deve cobrir aproximadamente 5/8 da carga horária (não mais que 3/4).

Ao fim do curso, espero que os alunos tenham sido expostos a muitas ideias geométricas interessantes e estejam aptos para, com sólida intuição geométrica, se aprofundarem em seus estudos sobre a geometria de variedades diferenciais abstratas nos seus mais diferentes aspectos.

Resumo das aulas gravadas, material complementar e exercícios: pode ser encontrado aqui.

Será um número grande de exercícios sugeridos disponíveis, para todos os gostos, assim espero. A fim de aproveitar tudo o que o curso tem a oferecer, recomendo que os alunos se dediquem a resolver o máximo que puderem.

Avaliação: Alunos regulares do mestrado do IMPA serão avaliados (instruções específicas serão comunicadas a este subgrupo). Alunos de curso livre não serão avaliados como alunos regulares, e serão atribuídos grau P = participou ou F = não participou/falhou. Para registro da participação, coletarei listas de exercícios semanais.