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Equação do Balanço

Derivamos agora a equação do balanço para partículas neutras, e isto é, uma aproximação da transferência radioativa por um modelo reduzido da luz com suas características mais simples e principais (partículas abstratas). O objetivo é determinar a distribuição das partículas abstratas no espaço e tempo , levando em conta seu movimento e iteração com o meio.
A teoria de transporte precisa de muitas suposições sobre a natureza das partículas. Duas importantes suposições são:
1. As partículas são muito pequenas e numerosas tal que sua distribuição pode ser considerada como continua.
2. Em qualquer ponto do tempo uma partícula pode ser determinada por sua posição e velocidade e seus estados internos como polarizaçã o, frequência, spin ou carga.

Definições:

Existem quatro processos que afetam a distribuição da radiancia em um ambiente com meio participativo.

Emissão: o processo físico que injeta novas partículas dentro
  do sistema
   
Corrente: são partículas (fótons ou nêutrons partículas neutras)
  seguindo um caminho independente de forças externas
  (omitindo refrações, os caminhos são linhas retas).
   
Absorção: é o processo tira uma partícula do sistema capturando-la
  e transforma sua energia em outra forma de energia.
   
Dispersão: é o processo que muda instantemente a muda a direção de
  viaje de uma partícula.


Omitendo choques entre partículass considerando partículass neutras deduzimos a equeção do transporte.

Equação do Balanço de Partículas
Para derivar a equação do balanço para as partículas, começamos estudando as partículas em $ V\times\Omega$ um volume fixo no espaço fase onde $ V\in\mathbb{R}^3$ qualquer aberto, e $ \Omega\subset\mathbb{S}^2$ arbitrario.
[totalheight=2.5cm]conjunto2.eps
Como varia o número de partículas em $ V\times\Omega$ com o tempo?

Temos que o número de partículas no volume $ V\times\Omega$ é
$ N(t)=\int_\Omega\int_Vn(r,w,t)drdw $.

Pela lei de conservação da materia temos

$ \dfrac{dN(t)}{dt}=0$

Logo o fluxo de partículas de entrada e saída de $ V\times\Omega$ esta balanceada. Então os processos de emissão, corrente e dispersão, podem mudar o número; de partículas dentro de $ V\times\Omega$, então se precisa que

[ mudança por emissão ] + [mudança por corrente]+ [mudança por dispersão]=0.

1.1. Mudança por Emissão
Função fonte do espaço de fase $ q$ é tal que

$ q:\mathbb{R}^3\times \mathbb{S}^2\longrightarrow \mathbb{R}$
é o número de partículas criadas por unidade de volume, por ângulo solido, por tempo.
$ E=\int_\Omega\int_{V}q(r,\omega)drd\omega$.

é a mudança em $ N$ devida à emissão.



1.2. Mudança por Corrente
É a rede de fluido de partículas com direcões em $ \Omega$ que passa através da superfície $ \partial V$ de $ V$. A corrente através do diferencial de superfície só depende do fluxo normal ao diferencial $ \phi(s,\omega)\omega\cdot
n(s)$. Portanto

\includegraphics[totalheight=1.5in]{corrente2.eps}

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
C & =\int_\Omega\int_{\partial V}\phi(s,\o...
..._{V}\omega\cdot\nabla\phi \, drd\omega. \\
\par
&
\end{array}\end{displaymath}

1.3. Mudança por Absorsão
A probabilidade de que uma partícula despareça devido à absorsão e proporcional ao comprimento de viagem através do meio.
A constante de proporcionalidade é chamada de coeficiente de absorsão
, e este pode variar com a posição e a direção. Em um meio $ isotropico$ não varia com a direcão.

.
\includegraphics[totalheight=2.5cm]{absor3.eps}

1.4. Mudança por Dispersão
Caracterizamos este processo pelo kernel de dipersão volumétrica

$ k:\mathbb{R}^3\times [-1,1]\longrightarrow \mathbb{R}$
tal que
$ k(r,\omega\cdot\omega')drd\omega'$

é a probabilidade que a partícula na direção $ \omega$ será desviada na direção $ \omega'$. Por unidade de volume por unidade de ângulo solido.
$ k$ só depende do produto ponto $ \omega\cdot\omega'$ e não das direçoes se o meio é isotropico.

\includegraphics[totalheight=1in]{scatter2.eps}

Definição: Coeficiente de Dispersão é definido por

$ \sigma_s(r) = \int_{\mathbb{S}^2}k(r,\omega\cdot\omega')d\omega'$

E é a probabilidade que a partícula tenha uma colição por unidade de comprimento percorrido.


1.4.1 Dispersão para fora (Out-scatter)
Remove partículas de $ V\times\Omega$. A parícula em $ V$ muda sua direção fora de $ \Omega$ por algum motivo.

\includegraphics[totalheight=2.5cm]{scfora2.eps}

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
C_{out} &
=\int_\Omega\int_{V}\int_{\mathb...
..._{V}\sigma_s(r)\phi(r,\omega)drd\omega. \\
\par
&
\end{array}\end{displaymath}

Definição: Função fase
Definida por

$ p_r: \Omega\times\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$ para todo $ r\in\mathbb{R}^3$
$ (\omega,\omega')\longrightarrow
p_r(\omega,\omega')$

Representa a probabilidade de dispersão da luz incidente en qualquer direção, em um meio participativo.

Agora o kernel de dispersão volumetrica pode-se por dentro de outra forma assim

$ p_r(\omega\cdot\omega') =
4\pi\dfrac{k(r,\omega\cdot\omega')}{\sigma_s(r)}$ onde $ r\in \mathbb{R}^3 .$

Logo,

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
{k(r,\omega\cdot\omega')} &
=\sigma_s(r) \...
...\
\\
&
=\sigma_s(r)P_r(\omega\cdot\omega')\\
&
\end{array}\end{displaymath}

onde $ P_r(\omega\cdot\omega') = \dfrac{p_r(\omega\cdot\omega')}{4\pi}.$


1.4.2 Dispersão para dentro (In-scatter)
Adição de partículas a $ V\times\Omega$ por deviação da direção de partículas para dentro de $ \Omega$.

$ C_{in}=\int_\Omega\int_{V}\int_{\mathbb{S}^2}k(r,\omega\cdot\omega')\phi(r,\omega')d\omega'drd\omega$.
Logo

$ C_{in}=\int_\Omega\int_{V}\int_{\mathbb{S}^2}\sigma_s(r)P_r(\omega\cdot\omega')\phi(r,\omega')d\omega'drd\omega$.


Equação do transporte.

Já que

[ mudança por emissão ] + [mudança por corrente]+ [mudança por dispersão]=0.

então temos que

$ \int_\Omega\int_{V}\omega\cdot\nabla\phi \, drd\omega +
\int_{\Omega}\int_{V}...
...i(r,\omega)drd\omega +
\int_\Omega\int_{V}\phi(r,\omega)\sigma_s(r)drd\omega = $

$ \int_\Omega\int_{V}q(r,\omega)drd\omega +
\int_\Omega\int_{V}\int_{\mathbb{S}^2}\sigma_s(r)P_r(\omega\cdot\omega')\phi(r,\omega')d\omega'drd\omega
$

Agora como $ V\times\Omega$ é um conjunto arbitrario, podemos tirar as integrais e obtemos
$ \omega\cdot\nabla\phi(r,\omega)+
\sigma_a(r)\phi(r,w)+
\phi(r,\omega)\sigma_s(...
...\int_{\mathbb{S}^2}\sigma_s(r)P_r(\omega\cdot\omega')\phi(r,\omega')d\omega'.
$

E seja

$ \sigma(r) = \sigma_s(r) + \sigma_a(r)$

a redução total da radiancia devido absorção e desperção fora (out-scattering) e é chamado de atecuação ou extinção.

Então temos

\fbox{$\omega\cdot\nabla\phi(r,\omega)+
\sigma(r)\phi(r,w) =
q(r,w)+
\int_{\mathbb{S}^2}\sigma_s(r)P_r(\omega'\cdot\omega)\phi(r,\omega')d\omega'.$}
A equação do transporte.





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Dalia Melissa Bonilla Correa 2006-09-08