Mandalas e Tesselados: Arte Geométrica
Festival da Matemática 2017: Oficina criativa
J. Ezequiel Soto S.
Memória e Guia para a Réplica da oficina realizada no Festival
da Matemática 2017, Rio de Janeiro, 27 a 30 de abril.
[Veja o programa]
A oficina pretende aproximar os participantes dos fundamentos
geométricos das mandalas e dos tesselados de forma prática e criativa.
Através de exemplos, serão apresentados conceitos de geometria
ornamental e elementos teóricos sobre os grupos de simetria.
- INTRODUÇÃO: Geometria, arte islâmica e o trabalho de M.C. Escher
- MANDALAS E ROSETAS: Simetria radial
- TESSELADOS: Ladrilhos, azulejos... e muito mais
- FAÇA VOCÊ MESMO: Imitando os mestres
- APRENDENDO COM ESCHER: Aplicando a matemática na arte
- FAÇA VOCÊ MESMO: Está na hora de criar
- RECAPITULANDO: Grupos de simetria, isometrias e notação
- RECURSOS: Faça você mesmo (material de apoio)
- REFERÊNCIAS: Há muito mais por aprender
Introdução
Geometria, arte islâmica e o trabalho de M.C. Escher
Em todas as culturas encontramos ornamentos e objetos artísticos que apresentam simetria. Os nossos ancestrais começaram imitando as formas geométricas que observavam na natureza, mas ao longo da história foram criando seus próprios símbolos, suas próprias figuras e ornamentos de caráter progressivamente mais abstrato e complexo.
Algumas culturas desenvolveram ornamentos geométricos mais do que outras. É o caso do mundo islâmico, onde a partir da proibição (mesmo que implícita) da representação pictórica de seres vivos, criaram-se elaborados ornamentos geométricos que representavam a grandiosidade da sua espiritualidade e de sua cultura, ao mesmo tempo que adornavam templos e palácios.
As culturas espanhola e portuguesa têm uma grande influência árabe devida à longa ocupação do sul da península ibérica (Al-Ándalus, 711-1492). Um dos principais monumentos da ocupação islâmica na região é a cidadela da Alhambra, um complexo de palácios, jardins e fortaleza situado em Granada, Espanha. Patrimônio da Humanidade, é visitado cada ano por milhões de turistas do mundo inteiro.
A Alhambra tem servido de inspiração para muitos artistas ao longo dos anos,
e um deles ficaria fascinado pela divisão regular do plano encontrada em
muitos dos motivos ornamentais do palácio e desenvolveria, ao longo da sua vida,
um total de 137 desenhos com divisões regulares do espaço.
Trata-se de Maurits Cornelius Escher (1898-1972) [1],
quem se tornaria famoso por esses trabalhos e por outros que representam construções impossíveis,
ilusões da perspectiva e divisões regulares de espaços esféricos e hiperbólicos.
Figura 3. Rascunhos de arte mourisca, realizados por M.C.Escher e sua esposa Jetta (SCHATTSCHNEIDER, 1990).
Iremos a explorar dois tipos de ornamentos geométricos e suas construções:
Mandalas
Diagrama, geralmente circular e com formas geométricas, que representa o universo.
[*]
Os desenhos têm se popularizado pela sua presença em livros para colorir para adultos e a
suas disposições circulares possibilitam de forma natural as simetrias rotacionais.
No mesmo conjunto de ornamentos com simetria rotacional se encontram as rosetas - ou rosáceas -
e os nós celtas, entre outros.
[Ir para a seção]
Tesselados
O termo não existe desta forma em português, mas deriva do inglês tesselation e é congruente com o português tessela [*]:
- Pedra quadrada para lajear compartimentos de um edifício.
- Cubo ou peça de mosaico.
- Traslação.
- Rotação.
- Reflexão.
- Reflexão deslizante (que é equivalente a uma reflexão seguida de uma traslação).
[Ir para a seção]
Mandalas e rosetas
Simetria radial
- Escolha o número de folhas de simetria que você quer e configure o tamanho da malha.
- Imprima ou exporte para PDF (as legendas não aparecerão na sua impressão).
- Acesse o aplicativo: 🖶 Simetria radial
Tesselados
Ladrilhos, azulejos... e muito mais
Há infinitas formas de cubrir o plano com tesselas geométricas repetidas periodicamente.
Para classificá-las, elas são organizadas pela forma em que são construídas através das isometrias:
traslações, reflexões, rotações e reflexões deslizantes.
Os grupos em que são classificadas chamam-se de grupos cristalográficos devido ao fato de que sua
generalização em 3D modela a formação de cristais na natureza.
Todos os grupos compartilham o fato de ter duas traslações às quais o desenho é invariante. Este fato
é o que faz com que sejam conhecidos como tesselados periódicos regulares. Também sabemos, graças ao
Teorema de Fedorov (1891), que as únicas rotações possíveis são as de 180°, 120°, 90° e 60°.
Os grupos estão fortemente relacionados entre eles, isto é, uns ficam contidos dentro de outros.
Por esse motivo é fácil, ao tentar classificar um ornamento, colocá-lo em um grupo mais geral ao qual
realmente pertence.
Nos ornamentos da Alhambra se encontram presentes os 17 grupos de simetria
[*].
Se tiver interesse, pode encontrar os desenhos explicados
aqui.
Na primeira parte apresentaremos os grupos com reflexões, reflexões deslizantes e rotações de 180°. Passíveis de ser construídos com malhas paralelas.
Nesta seguna parte serão apresentados os grupos que apresentam rotações de 90°, 120° e 60°, e que complementam as possibilidades para a divisão regular do plano de forma periódica.
Faça você mesmo: 1a. parte
Imitando os mestres
Para começar a sua própria prática, uma etapa importante é aprender a
reproduzir desenhos clássicos, com muita atenção, para poder descobrir os detalhes da
construção e as simetrias presentes nos desenhos.
Já observamos como o próprio Escher começou copiando com atenção e cuidado
os desenhos na Alhambra, para depois criar suas próprias obras a partir deles.
Clique para aumentar
Figura 4. Arte mourisco: desenhos e diagramas para sua análise (WADE, 1992) [Veja mais]
- Escolha o desenho de sua preferência da galeria.
- Reproduza o desenho com ajuda da grade impressa.
- Tente identificar:
- As traslações, para verificar que o desenho é periódico.
- Todas as simetrias presentes: reflexões, rotações e reflexões deslizantes.
- A região mínima a partir da qual se constrói o desenho.
- Finalmente, o grupo de simetria ao qual pertence.
- Configure o tamanho da malha e as orientações das linhas na grade.
- Imprima ou exporte para PDF (as legendas não aparecerão na sua impressão).
- Acesse os aplicativos: 🖶 Malha paralela / 🖶 Malha isométrica
Além de reproduzir alguns dos desenhos mouriscos clássicos, você pode imitar alguns dos padrões clássicos da cidade, descobrir os seus elementos construtivos e as simetrias que guardam.
Aprendendo com Escher
Aplicando a matemática na arte
M.C.Escher desenvolveu a tal ponto sua técnica de divisão regular do plano, que foi ele mesmo o primeiro a colocar questões, por exemplo, sobre os efeitos da cor nos grupos de simetria. Ele manteve frequentes encontros com cientistas e matemáticos para dialogar sobre as suas ideias e suas criações.
A sua técnica foi desenvolvida com a cuidadosa observação das características dos tipos de simetria e as relações das tesselas (os elementos unitários) que as isometrias lhes impõem, como podemos observar na seguinte figura.
Figura 6. Processo criativo da Divisão Regular No. 67 Horsemen, M.C.Escher, 1946 (SCHATTSCHNEIDER, 1990).
Faça você mesmo: 2a. parte
Está na hora de criar
Agora é a sua vez de transformar um tesselado em
um mundo a parte, cheio de suas criações.
- Configure a sua malha e imprima: 🖶 Malha paralela / 🖶 Malha isométrica
- Escolha um dos grupos de simetria. Para facilitar, pode consultar a Tabela de Resumo.
- Observe que as transformações a serem aplicadas à tessela-base deverão ser replicadas corretamente no resto do desenho (observe que a própria tessela base pode afetar lados opostos ou adjacentes). Comece com a tessela-base e os vizinhos imediatos. Se estiver com dúvidas do que isso significa, veja com cuidado a Seção anterior.
- Esta etapa é a que implica mais trabalho, mas vá com paciência e inspiração. Escolha desafios simples no início, isto lhe permitirá aprofundar o seu conhecimento dos grupos de simetria para criar desenhos mais complexos de forma progressiva.
Recapitulando...
Isometrias, grupos de simetria e notação.
TABELA.- Grupos de simetria radial: rosetas e mandalas | ||||
---|---|---|---|---|
Grupo | Orbivariedade | Descrição | Exemplos | Faça você mesmo |
Rotação de | ||||
Rotação de + Reflexão |
TABELA.- Os 17 grupos de simetria para tesselados regulares em 2D (grupos cristalográficos) | ||||
---|---|---|---|---|
Grupo | Orbivariedade | Descrição | Exemplos | Faça você mesmo |
p1 |
Duas Traslações → Sempre presentes nos outros grupos |
🖶 Paralelogramos 🖶 Hexágonos |
||
p2 | Rotação de 180° |
🖶 Quadriláteros 🖶 Triângulos |
||
pm | Duas reflexões | 🖶 Quadrados / Retângulos | ||
pg | Duas reflexões deslizantes | 🖶 Quadrados / Retângulos | ||
cm | Reflexão + Reflexão deslizante |
🖶 Paralelogramos 🖶 Triângulos |
||
pmm | Quatro reflexões | 🖶 Quadrados / Retângulos | ||
pmg | Reflexão + Duas rotações de 180° |
🖶 Quadrados / Retângulos 🖶 Triângulos |
||
pgg | Duas reflexões deslizantes | 🖶 Paralelogramos | ||
cmm | Duas reflexões + Rotação de 180° | 🖶 Paralelogramos | ||
p4 | Rotações de 90° + Rotação de 180° | 🖶 Quadrados | ||
p4m | Três reflexões | 🖶 Quadrados | ||
p4g | Rotações de 90° + Reflexão | 🖶 Quadrados | ||
p3 | Rotações de 120° | 🖶 Triângulos | ||
p31m | Rotações de 120° + Reflexão | 🖶 Triângulos | ||
p3m1 | Reflexões no triângulo | 🖶 Triângulos | ||
p6 | Rotações de 60° Rotação de 120° + Rotação de 180° |
🖶 Triângulos | ||
p6m | Reflexão + rotações de de 60° Três reflexões num triângulo equilátero bissectado |
🖶 Triângulos |
Recursos
Faça você mesmo
🖶 Colocamos a sua disposição uma série de aplicativos que geram os materiais impressos utilizados na oficina. Com eles você dispõe de uma malha de suporte para personalizar as suas criações, podendo reproduzir e distribuir para trabalhar na sala de aula ou em casa. Só selecione os parâmetros desejados e imprima:
Referências
Há muito mais por aprender