Mandalas e Tesselados: Arte Geométrica

Festival da Matemática 2017: Oficina criativa

J. Ezequiel Soto S.

Memória e Guia para a Réplica da oficina realizada no Festival da Matemática 2017, Rio de Janeiro, 27 a 30 de abril. [Veja o programa]
A oficina pretende aproximar os participantes dos fundamentos geométricos das mandalas e dos tesselados de forma prática e criativa.
Através de exemplos, serão apresentados conceitos de geometria ornamental e elementos teóricos sobre os grupos de simetria.


Introdução

Geometria, arte islâmica e o trabalho de M.C. Escher

Em todas as culturas encontramos ornamentos e objetos artísticos que apresentam simetria. Os nossos ancestrais começaram imitando as formas geométricas que observavam na natureza, mas ao longo da história foram criando seus próprios símbolos, suas próprias figuras e ornamentos de caráter progressivamente mais abstrato e complexo.

Seri olla basket 1
Cross stitch embroidery
Federation Square, Melbourne... Inside. - panoramio
Azulejos in Mexuar Hall - Alhambra (2)
La Alhambra (14)
Notre Damme internal windown rose

Figura 1. Exemplos de arte geométrica, presente em artefatos e na arquitetura.

Algumas culturas desenvolveram ornamentos geométricos mais do que outras. É o caso do mundo islâmico, onde a partir da proibição (mesmo que implícita) da representação pictórica de seres vivos, criaram-se elaborados ornamentos geométricos que representavam a grandiosidade da sua espiritualidade e de sua cultura, ao mesmo tempo que adornavam templos e palácios.

Alhambra in the evening

Figura 2. Alhambra, Granada, Espanha.

As culturas espanhola e portuguesa têm uma grande influência árabe devida à longa ocupação do sul da península ibérica (Al-Ándalus, 711-1492). Um dos principais monumentos da ocupação islâmica na região é a cidadela da Alhambra, um complexo de palácios, jardins e fortaleza situado em Granada, Espanha. Patrimônio da Humanidade, é visitado cada ano por milhões de turistas do mundo inteiro.

A Alhambra tem servido de inspiração para muitos artistas ao longo dos anos, e um deles ficaria fascinado pela divisão regular do plano encontrada em muitos dos motivos ornamentais do palácio e desenvolveria, ao longo da sua vida, um total de 137 desenhos com divisões regulares do espaço.
Trata-se de Maurits Cornelius Escher (1898-1972) [1], quem se tornaria famoso por esses trabalhos e por outros que representam construções impossíveis, ilusões da perspectiva e divisões regulares de espaços esféricos e hiperbólicos.

Figura 3. Rascunhos de arte mourisca, realizados por M.C.Escher e sua esposa Jetta (SCHATTSCHNEIDER, 1990).

Iremos a explorar dois tipos de ornamentos geométricos e suas construções:

Mandalas

Diagrama, geralmente circular e com formas geométricas, que representa o universo. [*]
Os desenhos têm se popularizado pela sua presença em livros para colorir para adultos e a suas disposições circulares possibilitam de forma natural as simetrias rotacionais.
No mesmo conjunto de ornamentos com simetria rotacional se encontram as rosetas - ou rosáceas - e os nós celtas, entre outros.
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Tesselados

O termo não existe desta forma em português, mas deriva do inglês tesselation e é congruente com o português tessela [*]:

  1. Pedra quadrada para lajear compartimentos de um edifício.
  2. Cubo ou peça de mosaico.
Assim, entendemos por tesselado um conjunto finito de peças com as quais é possível cobrir o plano aplicando a elas apenas transformações rígidas (isometrias):
  1. Traslação.
  2. Rotação.
  3. Reflexão.
  4. Reflexão deslizante (que é equivalente a uma reflexão seguida de uma traslação).
As mais comuns ao nosso redor são as construções com ladrilhos e azulejos, mas veremos que é possível criar estruturas bem mais interessantes.
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Mandalas e rosetas

Simetria radial

Para começar a experimentar:
  • Escolha o número de folhas de simetria que você quer e configure o tamanho da malha.
  • Imprima ou exporte para PDF (as legendas não aparecerão na sua impressão).
  • Acesse o aplicativo: 🖶 Simetria radial

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Tesselados

Ladrilhos, azulejos... e muito mais

Há infinitas formas de cubrir o plano com tesselas geométricas repetidas periodicamente. Para classificá-las, elas são organizadas pela forma em que são construídas através das isometrias: traslações, reflexões, rotações e reflexões deslizantes.
Os grupos em que são classificadas chamam-se de grupos cristalográficos devido ao fato de que sua generalização em 3D modela a formação de cristais na natureza.
Todos os grupos compartilham o fato de ter duas traslações às quais o desenho é invariante. Este fato é o que faz com que sejam conhecidos como tesselados periódicos regulares. Também sabemos, graças ao Teorema de Fedorov (1891), que as únicas rotações possíveis são as de 180°, 120°, 90° e 60°.
Os grupos estão fortemente relacionados entre eles, isto é, uns ficam contidos dentro de outros. Por esse motivo é fácil, ao tentar classificar um ornamento, colocá-lo em um grupo mais geral ao qual realmente pertence.
Nos ornamentos da Alhambra se encontram presentes os 17 grupos de simetria [*]. Se tiver interesse, pode encontrar os desenhos explicados aqui.

Na primeira parte apresentaremos os grupos com reflexões, reflexões deslizantes e rotações de 180°. Passíveis de ser construídos com malhas paralelas.

Nesta seguna parte serão apresentados os grupos que apresentam rotações de 90°, 120° e 60°, e que complementam as possibilidades para a divisão regular do plano de forma periódica.

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Faça você mesmo: 1a. parte

Imitando os mestres

Para começar a sua própria prática, uma etapa importante é aprender a reproduzir desenhos clássicos, com muita atenção, para poder descobrir os detalhes da construção e as simetrias presentes nos desenhos.
Já observamos como o próprio Escher começou copiando com atenção e cuidado os desenhos na Alhambra, para depois criar suas próprias obras a partir deles.

Clique para aumentar

Figura 4. Arte mourisco: desenhos e diagramas para sua análise (WADE, 1992) [Veja mais]

  • Escolha o desenho de sua preferência da galeria.
  • Reproduza o desenho com ajuda da grade impressa.
  • Tente identificar:
    1. As traslações, para verificar que o desenho é periódico.
    2. Todas as simetrias presentes: reflexões, rotações e reflexões deslizantes.
    3. A região mínima a partir da qual se constrói o desenho.
    4. Finalmente, o grupo de simetria ao qual pertence.
  • Configure o tamanho da malha e as orientações das linhas na grade.
  • Imprima ou exporte para PDF (as legendas não aparecerão na sua impressão).
  • Acesse os aplicativos: 🖶 Malha paralela / 🖶 Malha isométrica

Depois de imitar algumas ideas clássicas, crie variantes e brinque com as cores.

Além de reproduzir alguns dos desenhos mouriscos clássicos, você pode imitar alguns dos padrões clássicos da cidade, descobrir os seus elementos construtivos e as simetrias que guardam.

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Aprendendo com Escher

Aplicando a matemática na arte

M.C.Escher desenvolveu a tal ponto sua técnica de divisão regular do plano, que foi ele mesmo o primeiro a colocar questões, por exemplo, sobre os efeitos da cor nos grupos de simetria. Ele manteve frequentes encontros com cientistas e matemáticos para dialogar sobre as suas ideias e suas criações.

Figura 5. Rascunhos e figuras anotadas nos cadernos de M.C.Escher (SCHATTSCHNEIDER, 1990).

A sua técnica foi desenvolvida com a cuidadosa observação das características dos tipos de simetria e as relações das tesselas (os elementos unitários) que as isometrias lhes impõem, como podemos observar na seguinte figura.

Figura 6. Processo criativo da Divisão Regular No. 67 Horsemen, M.C.Escher, 1946 (SCHATTSCHNEIDER, 1990).

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Faça você mesmo: 2a. parte

Está na hora de criar

Agora é a sua vez de transformar um tesselado em um mundo a parte, cheio de suas criações.

  1. Configure a sua malha e imprima: 🖶 Malha paralela / 🖶 Malha isométrica
  2. Escolha um dos grupos de simetria. Para facilitar, pode consultar a Tabela de Resumo.
  3. Observe que as transformações a serem aplicadas à tessela-base deverão ser replicadas corretamente no resto do desenho (observe que a própria tessela base pode afetar lados opostos ou adjacentes). Comece com a tessela-base e os vizinhos imediatos. Se estiver com dúvidas do que isso significa, veja com cuidado a Seção anterior.
  4. Esta etapa é a que implica mais trabalho, mas vá com paciência e inspiração. Escolha desafios simples no início, isto lhe permitirá aprofundar o seu conhecimento dos grupos de simetria para criar desenhos mais complexos de forma progressiva.

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Recapitulando...

Isometrias, grupos de simetria e notação.

TABELA.- Grupos de simetria radial: rosetas e mandalas
Grupo Orbivariedade Descrição Exemplos Faça você mesmo
Cn n• Rotação de 360°/n
Dn ∗n• Rotação de 360°/n + Reflexão
TABELA.- Os 17 grupos de simetria para tesselados regulares em 2D (grupos cristalográficos)
Grupo Orbivariedade Descrição Exemplos Faça você mesmo
p1 o Duas Traslações
→ Sempre presentes nos outros grupos
🖶 Paralelogramos
🖶 Hexágonos
p2 2222 Rotação de 180° 🖶 Quadriláteros
🖶 Triângulos
pm ∗∗ Duas reflexões 🖶 Quadrados / Retângulos
pg xx Duas reflexões deslizantes 🖶 Quadrados / Retângulos
cm ∗x Reflexão + Reflexão deslizante 🖶 Paralelogramos
🖶 Triângulos
pmm ∗2222 Quatro reflexões 🖶 Quadrados / Retângulos
pmg 22∗ Reflexão + Duas rotações de 180° 🖶 Quadrados / Retângulos
🖶 Triângulos
pgg 22x Duas reflexões deslizantes 🖶 Paralelogramos
cmm 2∗22 Duas reflexões + Rotação de 180° 🖶 Paralelogramos
p4 442 Rotações de 90° + Rotação de 180° 🖶 Quadrados
p4m ∗442 Três reflexões 🖶 Quadrados
p4g 4∗2 Rotações de 90° + Reflexão 🖶 Quadrados
p3 333 Rotações de 120° 🖶 Triângulos
p31m 3∗3 Rotações de 120° + Reflexão 🖶 Triângulos
p3m1 ∗333 Reflexões no triângulo 🖶 Triângulos
p6 632 Rotações de 60°
Rotação de 120° + Rotação de 180°
🖶 Triângulos
p6m ∗632 Reflexão + rotações de de 60°
Três reflexões num triângulo equilátero bissectado
🖶 Triângulos

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Recursos

Faça você mesmo

🖶 Colocamos a sua disposição uma série de aplicativos que geram os materiais impressos utilizados na oficina. Com eles você dispõe de uma malha de suporte para personalizar as suas criações, podendo reproduzir e distribuir para trabalhar na sala de aula ou em casa. Só selecione os parâmetros desejados e imprima:

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Referências

Há muito mais por aprender

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